Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=4，a₄=16，a_n＜a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得等比数列{a_n}的公比q，继而可求得其首项a₁，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，可求b_n=n，从而可求T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n．

解答：解：（1）∵q²=

a4

a2

=

16

4

=4且a_n＜a_n+1，
∴q=2，
∴a₁=

a2

q

=

4

2

=2为首项．
∴通项公式为：a_n=a₁•q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，（n∈N^*）
（2）设b_n=log₂a_n，
则b_n=log22n=n．
∴{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．　
∴T_n=

(1+n)×n

2

=

1

2

（n²+n）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与等差数列的求和公式，属于中档题．