题目内容
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a，b∈R满足下列关系式：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=
(n∈N*)，bn=
(n∈N*)．考察下列结论：①f（0）=f（1）； ②f（x）为偶函数；③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．其中正确的结论有（ ）
| f(2n) |
| 2n |
| f(2n) |
| n |
| A．1个 | B．2个 | C．3个 | D．4个 |
∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，①正确；
f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，
故②错；
则f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，
∴bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，④正确；
b1═1，bn=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2nbn=n2n，an═2n，
故数列{an}是等比数列，③正确．
故选C．
f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，
故②错；
则f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，
∴bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，④正确；
b1═1，bn=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2nbn=n2n，an═2n，
故数列{an}是等比数列，③正确．
故选C．
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