Question

已知直线：x=my+1过椭圆C：的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线交y轴于点M，且，当m变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；
（3）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由。

Answer 1

解：（1）易知椭圆右焦点F（1，0），
∴c=1，
又抛物线的焦点坐标为，
∴b=，b²=3，
∴，
∴椭圆C的方程为。
（2）易知，且与y轴交于，
设直线与椭圆交于，
由，
∴，
∴，
又由，
∴，
∴，同理，
∴，
∵，
∴，
所以，当m变化时，的值为定值。
（3）先探索，当m=0时，直线轴，
则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交，FK的中点N，且，
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点，
证明：由（2）知，，
∴，
当m变化时，首先证直线AE过定点，
∵：，
当时，

   
    ，
∴点在直线上，
同理可证也在直线上，
∴当m变化时，AE与BD相交于定点。