Question

（2012•莆田模拟）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点P(

2

，1)，F₁、F₂为其左、右焦点，且△PF₁F₂的面积等于

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M、N是直线x=-

3

2

上的两个动点，满足F₁M⊥F₂N，问以MN为直径的圆C是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用△PF₁F₂的面积等于

2

，求出椭圆的焦距，利用椭圆过点P(

2

，1)，求出a的值，从而可求椭圆E的方程；
（2）设M（-

3

2

，m），N（-

3

2

，n），利用F₁M⊥F₂N，可得mn=-

1

4

，求出圆C的方程，令y=0，即可得出结论．

解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，则
∵△PF₁F₂的面积等于

2

，∴

1

2

×2c×1=

2

∴c=

2

∴F₁（-

2

，0）、F₂（

2

，0）
∵椭圆过点P(

2

，1)，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=2
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）设M（-

3

2

，m），N（-

3

2

，n），则

F1M

=（-

3

2

+

2

，m），

F2N

=（-

3

2

-

2

，n）
∵F₁M⊥F₂N，∴

F1M

•

F2N

=0
∴

9

4

-2+mn=0，∴mn=-

1

4

以MN为直径的圆C的圆心为（-

3

2

，

m+n

2

），半径为

|m-n|

2

∴圆C的方程为(x+

3

2

)2+(y-

m+n

2

)2=

(m-n)2

4

即x²+y²+3x-（m+n）y+2=0
令y=0，整理得x²+3x+2=0
∴x=-1或x=-2
∴以MN为直径的圆C必过定点（-1，0）和（-2，0）．

点评：本题主要考查椭圆方程、直线与圆的方程，考查位置关系，考查运算能力，属于中档题．