Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）当m=0时，求f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的取值范围；
（2）当tana=2时，f(a)=

3

5

，求m的值．

Answer 1

（1）当m=0时，f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x=sin2x+sinxcosx=

1-cos2x+sin2x

2

=

1

2

[

2

sin(2x-

π

4

)+1]，
由已知x∈[

π

8

，

3π

4

]，得2x-

π

4

∈[-

2

2

，1]，从而得：f（x）的值域为[0，

1+ 2

2

]．

（2）因为f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x+msin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=sin²x+sinxcosx+

m(cos π 2 -cos2x)

2

=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

-

mcos2x

2

=

1

2

[sin2x-(1+m)cos2x]+

1

2

所以f(α)=

1

2

[sin2α-(1+m)cos2α]+

1

2

=

3

5

①
当tanα=2，得：sin2a=

2sinacosa

sin2a+cos2a

=

2tana

1+tan2a

=

4

5

，cos2a=-

3

5

，
代入①式，解得m=-2．