Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c有两个极值点x₁，x₂，若f（x₁）=x₁，则关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由题意可得x₁、x₂是f′（x）=x²+ax+b=0的两个不相等的实数根，可得△=a²-4b＞0，从而得到关于
x的方程f²（x）+af（x）+b=0有2个不等实数根，数形结合可得答案．

解答：解：∵函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c
有两个极值点x₁，x₂，不妨假设x₁＜x₂，
∴f′（x）=x²+ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=a²-4b＞0．
由于方程f²（x）+af（x）+b=0的判别式
△′=△=a²-4b＞0，
故此方程有两解为 f（x）=x₁或f（x）=x₂．
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x₁的交点个数
即为方程f（x）=x₁ 的解个数；
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x₂ 的交点个数，即为方程f（x）=x₂的解个数．
根据f（x₁）=x₁，画出图形，如图所示：
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x₁的交点个数为2，函数y=f（x）的图象和直线y=x₂ 的交点个数为1，
可得关于x的方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有3个不同的实数根，
即关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0的不同实根个数为3．
故选 B．

点评：本题综合考查了函数零点的概念，函数的极值及方程解得个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．