Question

已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A＞0,ω＞0)的图像在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,2),与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0),求这个函数的解析式.

Answer 1

活动:本例是一道经典例题,主要考查三角函数模型的应用,及训练学生分析思维能力,对数形结合的思维要求也较高.教师可引导学生展开思考讨论,怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点.题目中虽然没有直接给出图像,实质是已知图像求解析式问题.指导学生画出草图,利用数形结合来深化题意的理解,事实上,学生很容易看出A的值.如果学生没找出周期,教师可进一步点拨:题目中告诉的x轴的横坐标2与6表示图像的哪段.根据题意,知道点M、N恰是函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A＞0,ω＞0)在对应于包含0的周期的那段图像的五个关键点中的两个.由此可知A、T.但要注意指导φ的求法.

解:方法一:

根据题意,可知=6-2=4,所以T=16.于是ω==.

将点M的坐标(2,2)代入y=2sin(x+φ),

得2=2sin(×2+φ),即sin(+φ)=1.

所以满足+φ=的φ为最小正数解为φ=.

从而所求的函数解析式是y=2sin(x+),x∈R.

方法二:将两个点M(2,2),N(6,0)的坐标分别代入y=2sin(ωx+φ)并化简,

得

所以,在长度为一个周期且包含原点的闭区间上,有.

从而所求的函数解析式是y=2sin(x+),x∈R.

点评:由三角函数图像求解析式确定φ时,答案可能止一个,这里可提醒学生注意,习惯上一般取离x轴最近的一个,这样的解析式简洁.本例对学生有着很高的训练价值,特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用.数形结合是数学中重要的思想方法,对各类函数的研究都离不开图像,在中学阶段,几乎所有函数的性质都是通过观察图像而得到的.