Question

（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=1+sinx•cosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若tanx=

3

4

，x∈（0，

π

2

），求f（

π

4

-

x

2

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式对解析式化简，由三角函数的周期公式和正弦函数的最小值，求出函数的周期和最小值；
（2）先根据解析式化简f(

π

4

-

x

2

)，再由条件和同角三角函数的关系求出余弦值，根据角的范围确定余弦值的符号，代入式子求值即可．

解答：解：（1）由题意得，f（x）=1+sinx•cosx=

1

2

sin2x+1，
∴函数的最小周期是T=

2π

2

=π，
函数的最小值是f（x）_min=-

1

2

+1=

1

2

，
（2）由（1）得f(

π

4

-

x

2

)=

1

2

sin[2(

π

4

-

x

2

)+1]+1=

1

2

cosx+1，
由tanx=

3

4

得

sinx

cosx

=

3

4

，即sinx=

3

4

cosx，
代入sin²x+cos²x=1解得：cosx=±

4

5

，
∵x∈（0，

π

2

），∴cosx=

4

5

，
∴f(

π

4

-

x

2

)=

1

2

cosx+1=

7

5

．

点评：本题考查了倍角公式，同角三角函数的关系，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握公式并会运用．