Question

设函数f(x)＝x³＋ax²＋bx(x＞0)的图象与直线y＝4相切于M(1，4)．

(Ⅰ)求f(x)＝x³＋ax²＋bx在区间(0，4]上的最大值与最小值；

(Ⅱ)设存在两个不等正数s，t(s＜t)，当x∈[s，t]时，函数f(x)＝x³＋ax²＋bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)(x)＝3x²＋2ax＋b．依题意则有：

　　所以解得所以f(x)＝x³－6x²＋9x；

　　(x)＝3x²－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由(x)＝0可得x＝1或x＝3．

　　(x)，f(x)在区间(0，4]上的变化情况为：

　　所以函数f(x)＝x³－6x²＋9x在区间[0，4]上的最大值是4，最小值是0．

　　(2)由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点(3，0)不在区间[s，t]上；

　　①若极值点M(1，4)在区间[s，t]上，此时0＜s≤1≤t＜3，

　　故有(i)或(ii)

　　(i)由k＝，1≤t＜3知，k∈，当且仅当t＝1时，k＝4；

　　再由k＝(s－3)²，0＜s≤1知，k∈[4，9)，当且仅当s＝1时，k＝4．

　　由于s≠t，故不存在满足要求的k值．

　　(ii)由s＝f(t)＝f(t)＝，及0＜s≤1可解得2≤t＜3，

　　所以k＝，2≤t＜3知，k∈；

　　即当k∈时，存在t＝∈[2，3)，s＝f(t)＝∈(0，1]，且f(s)≥4s＝f(t)＞f(t)，满足要求．

　　②若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，则0＜s＜t≤1或3＜s＜t，

　　且，故s，t是方程x²－6x＋9＝k的两根，

　　由于此方程两根之和为3，故[s，t]不可能同在一个单调增区间内；

　　③若函数f(x)在区间[s，t]上单调递减，则1＜s＜t＜3，，

　　两式相减并整理得s²(s－3)³＝t²(t－3)²，由1＜s＜t＜3知s(s－3)＝t(t－3)，即s＋t＝3，

　　再将两式相减并除以s－t得

　　－k＝(s²＋st＋t²)－6(s＋t)＋9＝(s＋t)²－6(s＋t)＋9－st＝－st，

　　即k＝st，所以s，t是方程x²－3x＋k＝0的两根，

　　令g(x)＝x²－3x＋k，

　　则，即存在s＝满足要求．

　　综上可得，当＜k＜时，存在两个不等正数s，t(s＜t)，使x∈[s，t]时，函数f(x)＝x³－6x²＋9x的值域恰好是[ks，kt]．