Question

【题目】已知双曲线的焦点是椭圆： （）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设动点， 在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说， ，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.

因为双曲线的焦点是椭圆： （）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.

因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.

代入椭圆方程得 .

因为 ，

所以.

设， ，

根据根与系数的关系得， .

则 .

因为，即 .

整理得.

令，则.

所以 .

等号成立的条件是，此时， 满足，符合题意.

故的最大值为.