Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2a_n-2 ⁿ⁺¹．
（1）证明：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）若不等式a _n+1＜（5-λ）a_n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-2²得a₁=4．由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，得a_n=2a_n-1+2ⁿ，由此能够证明数列{

an

2n

}是等差数列．
（Ⅱ）由

an

2n

=n+1，知a_n=（n+1）•2ⁿ．因为a_n＞0，所以不等式a_n+1＜（5-λ）a_n等价于

an+1

an

＜5-λ．因为

an+1

an

=2+

2

n+1

，而0＜

2

n+1

≤1，所以

an+1

an

=2+

2

n+1

≤3，由此能求出使不等式a_n+1＜（5-λ）a_n成立的λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-2²
得a₁=4．S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ．
即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以

an

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

an-1

2n-1

=

an-1

2n-1

+1-

an-1

2n-1

=1．
又

a1

21

=2，
所以数列{

an

2n

}是以2为首项，1为公差的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

2n

=n+1，
即a_n=（n+1）•2ⁿ．
因为a_n＞0，所以不等式a_n+1＜（5-λ）a_n等价于

an+1

an

＜5-λ．
因为

an+1

an

=2+

2

n+1

，
而0＜

2

n+1

≤1，
所以

an+1

an

=2+

2

n+1

≤3，
故3＜5-λ，即λ＜2．
故使不等式a_n+1＜（5-λ）a_n成立的λ的取值范围是（-∞，2）． …（12分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．