Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性；
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）-g（x），利用对数函数的性质确定函数的定义域．
（2）利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．
（3）讨论a的取值，解对数不等式即可．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
∴f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
要使函数f（x）-g（x）有意义，则

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
即函数f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）．
（2）∵f（x）-g（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
∴设F（x）=f（x）-g（x），则F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-F（x），
∴f（x）-g（x）为奇函数．
（3）由f（x）-g（x）＞0得f（x）＞g（x），
即log_a（1+x）＞log_a（1-x），
若a＞1，则

-1＜x＜1 1+x＞1-x

，即

-1＜x＜1 x＞0

，解得0＜x＜1．
若0＜a＜1，则

-1＜x＜1 1+x＜1-x

，即

-1＜x＜1 x＜0

，解得-1＜x＜0．
综上：若a＞1，不等式的解集为（0，1），
若0＜a＜1，不等式的解集为（-1，0）．

点评：本题主要考查对数函数的性质，以及与对数有关的不等式的解法，要求熟练掌握对数函数的性质及应用．