题目内容
（2004•黄冈模拟）已知
，
分别是x轴，y轴方向上的单位向量，
=
，
=10
，且
=3
(n=2，3，4，…)，在射线y=x（x≥0）上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），
=3
+3
且|
|=2
（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求
，
；
（III）求四边形AnAn+1Bn+1Bn面积的最大值．
| i |
| j |
| OA1 |
| j |
| OA2 |
| j |
| An-1An |
| AnAn+1 |
| OB1 |
| i |
| j |
| Bn-1Bn |
| 2 |
（Ⅰ）求
| A4A5 |
（Ⅱ）求
| OAn |
| OBn |
（III）求四边形AnAn+1Bn+1Bn面积的最大值．
分析：（1）由题意|An-1An|=3|AnAn+1|是一个等比关系，故根据等比数列公式求其通项，从而求得结果；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为An的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B1，B2，…，Bn，…即可得出Bn的坐标；
（3）根据四边形AnAn+1Bn+1Bn的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差Sn-Sn-1，确定其单调性，然后求出最大值．
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为An的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B1，B2，…，Bn，…即可得出Bn的坐标；
（3）根据四边形AnAn+1Bn+1Bn的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差Sn-Sn-1，确定其单调性，然后求出最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵
=3
⇒
=
，
∴
=
=(
)2
=(
)3
=
(
-
)=
．(3分)
（II）由（1）知
=
=
，
=
+9
+3
+…+
=
+
=
．(6分)
∵|
|=2
且Bn-1，Bn均在射线y=x（x≥0）上，
∴
=2
+2
．∴
=
+
+
+…+
=3i+3
+(n-1)(2
+2
)
（III）∵|
|=
，△AnAn+1Bn+1的底面边AnAn+1的高为h1=2n+3．
又|
|=2
，An(0，
)到直线y=x的距离为h2=
．
∴Sn=
•(2n+3)•
+
•2
•
=
+
，（10分）
而Sn-Sn-1=
-
=
＜0，
∴S1＞S2＞…＞Sn＞…
∴Smax=S1=
+
=
+9=
.
（12分）
| An-1An |
| AnAn+1 |
| AnAn+1 |
| 1 |
| 3 |
| An-1An |
∴
| A4A5 |
| 1 |
| 3 |
| A3A4 |
| 1 |
| 3 |
| A2A3 |
| 1 |
| 3 |
| A1A2 |
| 1 |
| 27 |
| OA2 |
| OA1 |
| 1 |
| 3 |
| J |
（II）由（1）知
| AnAn+1 |
| 1 |
| 3n-1 |
| A1A2 |
| 1 |
| 3n-3 |
| j |
|
=
| j |
| j |
| j |
| 1 |
| 3n-3 |
| j |
| j |
9[1-(
| ||
1-
|
| j |
29-(
| ||
| 2 |
| j |
∵|
| Bn-1Bn |
| 2 |
∴
| Bn-1Bn |
| i |
| j |
| OBn |
| OB1 |
| B1B2 |
| B2B3 |
| Bn-1Bn |
| j |
| i |
| j |
（III）∵|
| AnAn+1 |
| 1 |
| 3n-3 |
又|
| BnBn+1 |
| 2 |
29-(
| ||
| 2 |
29-(
| ||
2
|
∴Sn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3n-3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
29-(
| ||
2
|
| 29 |
| 2 |
| n |
| 3n-3 |
而Sn-Sn-1=
| n |
| 3n-3 |
| n-1 |
| 3n-4 |
| -2n+3 |
| 3n-3 |
∴S1＞S2＞…＞Sn＞…
∴Smax=S1=
| 29 |
| 2 |
| 1 |
| 3-2 |
| 29 |
| 2 |
| 47 |
| 2 |
点评：本题是一个数列应用题，也是等差等比数列的一个综合题，本题有着一个几何背景，需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法．本题是个难题，比较抽象．
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