Question

已知函数f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|，则方程f（f（x））=f（x）有（　　）个实数根．

A．6

B．5

C．4

D．2

Answer 1

分析：由于f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，先考虑函数在（0，+∞）上的情况．令t=f（x）＞0，方程即f（t）=t，解得
t=

2

，进而求得x=

2

2

 或 x=

2

．从而得到方程在（0，+∞）上有两个实数根．再由对称性可得，方程在
（-∞，0）上也有两个实数根，从而得到方程的根的个数．

解答：解：∵函数f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|满足 f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数．
先考虑函数在（0，+∞）上的情况．
当x＞0时，f（x）=

2x ，   0＜x＜1 2 x ，   x ≥1

．
令t=f（x）＞0，方程f（f（x））=f（x）即f（t）=t，∴①

0＜t＜1 2t=t

，或②

t≥1 2 t =t

．
解①得t∈∅，解②得 t=

2

．
故有f（x）=

2

，当 0＜x＜1时，由 2x=

2

解得 x=

2

2

．
当x≥1时，由

2

x

=

2

，解得 x=

2

．
综上可得，方程f（f（x））=f（x）在（0，+∞）上有两个实数根．
再由f（x）是偶函数，图象关于y轴对称可得，方程f（f（x））=f（x）在（-∞，0）上也有两个实数根，
故方程f（f（x））=f（x）在定义域{x|x≠0}上有4个实数解，
故选C．

点评：本题主要考查方程的根的存在性以及根的个数判断，函数的奇偶性的应用，带有绝对值的函数，属于中档题．