Question

（理科做）（1）证明：面APC⊥面BEF；
（2）求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证面APC⊥面BEF，只需要证明PC⊥面BEF，只需要证PC垂直于平面中的两条相交直线；
（2）先作出平面PBC与平面PCD夹角，作DG⊥PC交PC于点G，取BC中点H，则GH⊥PC，∠HGD为二面角的平面角，从而可求．

解答：证明：

(理)(1)连接EP、EC，由题可知

BP=BC=2

2

，
∴BF⊥PC，又△PAE≌△CDE，∴EP=EC，
∴EF⊥PC，且EF∩BF=F，
故PC⊥面BEF，又PC?面APC，
∴面APC⊥面BEF；
（2）在△PCD中作DG⊥PC交PC于点G，则DG=

PD•CD

PC

=

2×2 3

4

=

3

，
又由DG²=CD•PG得CG=1，
∴点G为CF的中点，取BC中点H，
连接GH、HD，则GH\mathop∥limits=BF，GH=1，
∴GH⊥PC，∠HGD为二面角的平面角，
Rt△CDH中可得HD=

6

，
∴COS∠HGD=

3+1-6

2×1× 3

=-

3

3

．

点评：本题主要考查与二面角有关的立体几何综合，考查面面垂直，考查面面角，关键是面面角的寻找