Question

（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证EF和平面PCD内的一条直线平行，在三角形PAD中易知EF∥PD得证；（2）要证面面垂直，只需证其中一个面BEF中的一条线垂直于另一平面PAD，根据已知条件知BF⊥AD，又有平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.

试题解析：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF ?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.

连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

考点：1、线面平行的判定；2、面面垂直的判定.