Question

已知定义在上的函数，其中为常数．

  （1）若是函数的一个极值点，求的值．

  （2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围．

  （3）若函数在处取得最大值，求正数的取值范围．

Answer 1

解：（1） ，．

 ∵是的一个极值点, ∴,　∴． ………3分

 （2）①当时，在区间上是增函数，∴符合题意． ………4分

 ②当时，,令得

  当时，对任意，恒有，∴符合题意;

  当时，当时，,∴

 ∴符合题意． 综上所述，………8分

 （3） ，．

      

  令，即

  显然有，设方程的两个根为．

 　由式得，不妨设， 当时，为极小值，

  所以在上的最大值只能为或 ………10分

　当时，由于在上是单调递减函数，所以最大值为，又已知在处取得最大值，所以

 即，解得, 　又因为，所以．  ………13分