Question

11．如图所示的四棱锥P-ABCD，底面四边形ABCD中，AD=BC=$\sqrt{5}$，AB=2CD=2$\sqrt{2}$，BO=2DO=2，PO⊥底面ABCD，且PA⊥PC．
（1）求V_P-ABCD；
（2）求面PAD与面PBC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出高PO，然后求解几何体的体积．
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PAD与平面PBC的法向量，即可求解面PAD与面PBC所成的锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）连结OC，OA，∵AD=BC=$\sqrt{5}$，AB=2CD=2$\sqrt{2}$，BO=2DO=2，∴BD⊥OC，BD⊥OA，AOC在同一直线上，并且OC=1，OA=2，如图：
PO⊥底面ABCD，且PA⊥PC．
可得PC²=PO²+1，PA²=PO²+4，PC²+PA²=9，
可得2PO²+5=9，∴PO=2．
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×（1+2）×2$
=3．
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OP为坐标轴，建立如图空间直角坐标系，如图：
则O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，2）．
平面PAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-2x-y=0\\ y+2z=0\end{array}\right.$，令y=2，则x=-1，z=-1，$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-1），
平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x+2z=0\\-x-2y=0\end{array}\right.$，令x=2，则y=-1，z=-1，$\overrightarrow{n}$=（2，-1，-1），
面PAD与面PBC所成的锐二面角的余弦值：cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$

点评 本题考查几何体的体积的求法，二面角的平面角的解法，考查空间想象能力以及计算能力．