Question

已知函数f(x) =   ( x > 0 )

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ) 若当x>0时,f(x)>恒成立，求正整数k的最大值.

Answer 1

解析：(Ⅰ)f(x) = - ┅┅┅┅┅┅┅3分

∵ x > 0    ∴ f(x) < 0

∴f(x)在(0,+)上单调递减。┅┅┅┅┅┅┅6分

(Ⅱ) 当x > 0时, f(x) > 恒成立,

既 k < (x+1) 在x > 0上恒成立,

设g(x)= (x+1),  则 g(x)=，┅┅┅┅┅8分

令 g(x)=0  则  ，

∴ g(x)在(0,x)上单调递减, 在()单调递增。

∴g(x) =

==x + 1┅┅┅┅┅┅┅11分

由 y = x - 1和y = ln(x+1)的图象可知 2 < x < 3

∴x+ 1 (3 ,4)  ∴ k ≤ 3   ∴ 正整数k的最大值是3 。┅┅┅┅┅14分