Question

已知函数f（x）=log_a

x+b

x-b

（a＞0，b＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）真数要大于0；（2）用奇偶性定义讨论；（3）先转化函数再用单调性定义讨论．

解答：解：（1）使f（x）有意义，则

x+b

x-b

＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，
∴f（x）的定义域为{x|x＞b或x＜-b}．
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
∵f（-x）=log_a

-x+b

-x-b

=log_a

x-b

x+b

=log_a(

x+b

x-b

)-1=-log_a

x+b

x-b

=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
（3）设u=

x+b

x-b

=

x-b+2b

x-b

=1+

2b

x-b

，
设x₁＞x₂，则u₁-u₂=1+

2b

x1-b

-(1+

2b

x2-b

)=

2b(x2-x1)

(x1-b)(x2-b)

，
当x₁＞x₂＞b时，

2b(x2-x1)

(x1-b)(x2-b)

＜0，即u₁＜u₂，
此时，u为减函数，同理-b＞x₁＞x₂时，u也为减函数．
∴当a＞1时，f（x）=log_a

x+b

x-b

在（-∞，-b）上为减函数，在（b，+∞）上也为减函数．
当0＜a＜1时，
f（x）=log_a

x+b

x-b

在（-∞，-b）上为增函数，在（b，+∞）上也为增函数．

点评：本题主要考查函数的基本性质单调性和奇偶性，是函数中的常考题型，属中高档题．