Question

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为

1

3

，去参加乙游戏的人数的概率为

2

3

．设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=

C

i 4

（

1

3

）ⁱ（

2

3

）^4-i．由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A₁与A₃互斥，A₀与A₄互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

解答：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为

1

3

，
去参加乙游戏的人数的概率为

2

3

．
设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），
P（A_i）=

C

i 4

（

1

3

）ⁱ（

2

3

）^4-i．
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A₂）=

C

2 4

（

1

3

）2（

2

3

）2=

8

27

．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A₁与A₃互斥，A₀与A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=

8

27

，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=

40

81

，
P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=

17

81

，
∴ξ的分布列是

ξ	0	2	4
P	8 27	40 81	17 81

数学期望Eξ=0×

8

27

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．

点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．