Question

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；
（2）求证：

OA

•

OB

是一个定值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得直线L的方程，与抛物线方程联立并消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出；
（2）设直线L的方程为x=ky+1，与抛物线方程联立并消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系、数量积运算即可得出．

解答：解：（1）依题意得F（1，0），∴直线L的方程为y=2（x-1），
设直线L与抛物线的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=2(x-1) y2=4x

消去y整理得x²-3x+1=0，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
法一：|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

32-4•1

=5．
法二：|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=3+2=5．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，
设直线L与抛物线的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=ky+1 y2=4x

消去x整理得y²-4ky-4=0．
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
∵

OA

•

OB

═（x₁，y₁）•（x₂，y₂）
=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4k²+4k²+1-4=-3．
∴

OA

•

OB

是一个定值为-3．

点评：熟练掌握直线与抛物线的相交问题转化为与抛物线方程联立得到一元二次方程、根与系数的关系、弦长公式数量积计算公式等是解题的关键．