Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）总成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．
即a（-x）⁴+b（-x）³+c（-x）²+d（-x）+e=ax⁴+bx³+cx²+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax⁴+cx²+e．
又由图象过点A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax³+2cx，由题意知函数y=f（x）在点（1，0）的切线斜率为-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1．
（2）由f（x）≤t（x²+1）恒成立，且x²+1恒大于0，
可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立．
令g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

，设x²+1=m，则m≥1，
∴g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

=

-2m2+7m-6

m

=7-2(m+

3

m

)≤7-4

m• 3 m

=7-4

3

（当且仅当m=

3

时，“=”号成立）．
∴g（x）的最大值为7-4

3

，
故实数t的取值范围是[7-4

3

，+∞)．