Question

已知数列{a_n}的前n项和为 S_n=

n+1

2

an（n∈N*），且a₁=2．数列{b_n}满足b₁=0，b₂=2，

bn+1

bn

=

2n

n-1

，n=2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N^*，

2b1

a1

+

2b2

a2

+…+

2bn

an

≥2n-1-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用S_n=

n+1

2

an，可得2S_n=（n+1）a_n，再写一式2S_n+1=（n+2）a_n+1，两式相减可得

an+1

an

=

n+1

n

，利用叠乘法，可求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）根据b₁=0，b₂=2，

bn+1

bn

=

2n

n-1

，利用叠乘法，可求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）先证明

2bk

ak

=2k-1(1-

1

k

)≥2k-2，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：∵S_n=

n+1

2

an，∴2S_n=（n+1）a_n①，∴2S_n+1=（n+2）a_n+1②，
∴①-②可得2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

当n≥2时，an=a1×

a2

a1

×…×

an

an-1

=2n
∵a₁=2
∴数列 {a_n} 的通项公式为a_n=2n；
（Ⅱ）解：∵b₁=0，b₂=2，

bn+1

bn

=

2n

n-1

，n≥2，
∴n≥3时，bn=b2×

b3

b2

×…×

bn

bn-1

=2n-1(n-1)
b₁=0，b₂=2满足上式，
∴数列 {b_n} 的通项公式为bn=2n-1(n-1)；
（Ⅲ）证明：

2bk

ak

=2k-1(1-

1

k

)
当k≥2时，1-

1

k

≥ 1-

1

2

=

1

2

∴

2bk

ak

=2k-1(1-

1

k

)≥2k-2
∵b₁=0，
∴

2b1

a1

+

2b2

a2

+…+

2bn

an

≥0+1+2+…+2n-2=

2n-1-1

2-1

=2^n-1-1
∴对于n∈N^*，

2b1

a1

+

2b2

a2

+…+

2bn

an

≥2n-1-1

点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查叠乘法，考查等比数列的求和公式，综合性强．