题目内容
方程sinx=
的根的个数为
| x | 2009π |
2010
2010
．分析：要求方程 sinx=
的实数解的个数，即求 y=
，y=sinx，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数，根据直线 y=
的斜率为
，和-1≤sinx≤1，以及三角函数的周期性，即可求得结论．
| x |
| 2009π |
| x |
| 2009π |
| x |
| 2009π |
| 1 |
| 2009π |
解答：解：令 y=
，y=sinx，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数．
由于直线 y=
的斜率为
，又-1≤sinx≤1，
所以仅当-2009π≤x≤2009π时，两图象有交点．
由函数y=sin的周期性，把闭区间[-2009π，2009π]分成
[-2009π，2（-1005+1）π，[2kπ，2（k+1）π]，[2×1004π，2009π]（k=-1004，-1003，…，-2，-1，0，1，2，…，1004），共1005个区间，
故实际交点有2010个．即原方程有2010个实数解．
故选C．
| x |
| 2009π |
由于直线 y=
| x |
| 2009π |
| 1 |
| 2009π |
所以仅当-2009π≤x≤2009π时，两图象有交点．
由函数y=sin的周期性，把闭区间[-2009π，2009π]分成
[-2009π，2（-1005+1）π，[2kπ，2（k+1）π]，[2×1004π，2009π]（k=-1004，-1003，…，-2，-1，0，1，2，…，1004），共1005个区间，
故实际交点有2010个．即原方程有2010个实数解．
故选C．
点评：此题是个中档题．考查根的存在性以及根的个数的判断，以及三角函数的周期性，体现了转化的思想和灵活应用知识分析解决问题的能力．
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