Question

各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有

8

项．

Answer 1

分析：设a₁，a₂…，a_n是公差为4的等差数列，则a₁²+a₂+a₃+…+a_n≤100，由此能够推导出7n²-6n-401≤0，由此能求出这样的数列共有8项．

解答：解：设a₁，a₂…，a_n是公差为4的等差数列，
则a₁²+a₂+a₃+…+a_n≤100，
即a12+

(a1+4)+[a1+4(n-1)]

2

•(n-1)≤100，
a₁²+（n-1）a₁+（2n²-2n-100）≤0，
因此，7n²-6n-401≤0，
解得 n₁≤n≤n₂，
其中n₁=

1

7

（3-

2816

）＜0，8＜n₂=

3+ 2816

7

＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8．

点评：本题考查数列的求和的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．