Question

已知数列{a_n}，满足a₂=6，

an+1-an+1

an+1+an-1

=

1

n

（n∈N^*），
（1）求a₁，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）己知

lim

n→∞

n

2n

=0，设bn=

an

n•2n

(n∈N*)，记s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（1）利用a₂=6，

an+1-an+1

an+1+an-1

=

1

n

，代入计算，可求a₁，a₃，a₄，a₅的值；
（2）由（1）知，a_n=n（2n-1），根据数学归纳法的证明步骤证明；
（3）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，再利用

lim

n→∞

n

2n

=0，即可求

lim

n→∞

Sn．

解答：解：（1）∵a₂=6，

an+1-an+1

an+1+an-1

=

1

n

，
∴

6-a1+1

6+a1-1

=1，∴a₁=1，
∵

a3-6+1

a3+6-1

=

1

2

，∴a₃=15，
∵

a4-15+1

a4+15-1

=

1

3

，∴a₄=28，
∵

a5-28+1

a5+28-1

=

1

4

，∴a₅=45；
（2）由（1）知，a_n=n（2n-1），证明如下：
①n=1时，a₁=1成立；
②假设n=k时，猜想成立，即a_k=k（2k-1），则
n=k+1时，

ak+1-k(2k-1)+1

ak+1+k(2k-1)-1

=

1

k

，∴a_k+1=（k+1）（2k+1），
即n=k+1时，猜想成立．
由①②可知a_n=n（2n-1）．
（3）bn=

n(2n-1)

n•2n

=(2n-1)•

1

2n

，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1•

1

2

+3•

1

22

+…+(2n-1)•

1

2n

，
∴

1

2

S_n=1•

1

22

+…+(2n-3)•

1

2n

+(2n-1)•

1

2n+1

，
两式相减可得-

1

2

S_n=1•

1

2

+2•

1

22

+…+2•

1

2n

-(2n-1)•

1

2n+1

，
∴S_n=-3+

2n+3

2n

，
∵

lim

n→∞

n

2n

=0，
∴

lim

n→∞

Sn=-3．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查数列的极限，考查数列的求和，正确确定数列的通项是关键．