Question

3．求函数y=cos⁴x+2sin²xcos²x-cos²x+1的值域．

Answer 1

分析 根据函数y的解析式，利用三角函数进行化简，求出它的值域即可．

解答 解：y=cos⁴x+2sin²xcos²x-cos²x+1
=（1-sin²x）cos²x+2sin²xcos²x-cos²x+1
=sin²xcos²x+1
=$\frac{1}{4}$（2sinxcosx）²+1
=$\frac{1}{4}$sin²2x+1
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1-cos4x}{2}$+1
=-$\frac{1}{8}$cos4x+$\frac{9}{8}$；
∵-1≤cos4x≤1，
∴-$\frac{1}{8}$≤-$\frac{1}{8}$cos4x≤$\frac{1}{8}$，
∴1≤-$\frac{1}{8}$cos4x+$\frac{9}{8}$≤$\frac{5}{4}$；
即函数y的值域是[1，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．