题目内容

已知函数(n∈N+)，且y=f(x)的图象经过点(1，n2)，数列{an}(n∈N+)为等差数列.(1)求数列{ an}的通项公式；

(2)当n为奇函数时，设,是否存在自然数m和M，使不等式m<<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由.

(1) an=2n-1    (2) M-m的最小值为2.


解析:

(1)据题意：f(1)=n2   即 

    令n=1 则a0+a1=1，a1=1-a0   令n=2 则a0+a1+a2=22，a2=4-(a0+a1)=4-1=3

        令n=3 则a0+a1+a2+a3=32，a3=9-(a0+a1+a2)=9-4=5 ∵{an}为等差数列

  ∴d=a3-a2=5-3=2      a1=3-2=1   a0=0    an=1+(n-1)·2=2n-1

       (2)由(1)

       n为奇数时，

  

相减得：

令，.

∴Cn+1≤Cn，Cn随n增大而减小    又随n增大而减小

∴g()为n的增函数，当n=1时，g()=

而    

∴使m<g()<M恒成立的自然m的最大值为0，M最小值为2.   M-m的最小值为2.

练习册系列答案
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已知函数f(x)=
4x-2
x+1
(x≠-1，x∈R)，数列{an}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若数列{an}是常数列，求a的值；
（2）当a1=4时，记bn=
an-2
a n-1
(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an．
已知函数f(x)=
2x+1
x+2
(x≠-2，x∈R)，数列{an}满足a1=a（a≠-2，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若数列{an}是常数列，求a的值；
（2）当a1=2时，记bn=
an-1
a n+1
(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an．
已知函数f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时f（x）=2*，又当n∈N×时an=f（n），则a2010=
1
4
1
4
．
（2013•荆门模拟）已知函数f（x）满足对于?x∈R，均有f(x)+2f(-x)=ax+2(
1
a
)x+xlna(a＞1)成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最小值；
（3）证明：(
1
n
)n+(
2
n
)n+…+(
n
n
)n＜
e
e-1
(n∈N+)．

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