Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E为A₁B₁的中点，则异面直线DE与B₁C所成角的余弦是

 

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Answer 1

分析：由题意，建立如图所示的空间坐标系，由于正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E为A₁B₁的中点，故可令正方体的边长为2，得出异面直线DE与B₁C的方向向量，由两向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦，由于两直线的夹角一定是小于等于90°的角，由此易得出夹角的余弦值

解答：解：如图，以DA，DC，DD1所在直线建立X，Y，Z轴，令正方体的边长为2，则有D（0，0，0），E（2，1，2），B₁（2，2，2），（0，2，0）
故异面直线DE与B₁C的方向向量分别是（2，1，2），（-2，0，-2）
∴异面直线DE与B₁C所成角的余弦为|

(2，1，2)•(-2，0，-2)

9 × 8

|=|

-8

6 2

|=

2 2

3

故答案为

2 2

3

点评：本题考查用空间向量求异面直线间的夹角，解题的关键是建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，由公式求出两直线夹角的余弦，求解时要注意，两直线的夹角小于等于90°，其余弦值为正