Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₁，a₃，a₁₁成等比数列，则数列{a_n}的通项为________．

Answer 1

a_n=3n-1
分析：根据所给的含有前n项和与项的关系式，仿写一个式子，两个式子相减，得到两项之间的关系，得到数列是一个等差数列，求出首项，根据三项成等比数列，去掉不合题意的首项，得到通项．
解答：∵6S_n=a_n²+3a_n+2，①
∴6S_n+1=a_n+1²+3a_n+1+2，②
②-①得到6a_n+1=a_n+1²+3a_n+1-a_n^2-3a_n
∴3（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）
∵正项数列{a_n}，
∴a_n+1-a_n=3或a_n+1+a_n=0
∴数列是一个公差为3的等差数列，
∵6a₁=a₁²+3a₁+2
∴a₁=1或2，
∵a₁，a₃，a₁₁成等比数列
∴当a₁=1时，1，7，31不成等比数列，
首项等于2时，2，8，32成等比数列，
∴首项等于2，
∴数列的通项是a_n=3n-1
故答案为：a_n=3n-1
点评：本题考查求数列的通项，本题解题的关键是仿写一个式子，两个式子相减得到只含有通项的式子，在仿写的时候注意仿写一个n+1的式子，不然要讨论n的取值．