Question

已知：斜边为AB的Rt△ABC，过点A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为PB，PC边上的垂足，
（1）求证：EF⊥PB
（2）求：若PA=AB=2，∠BPC=θ，则θ为何值时，△AEF的面积有最大值？最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）由题意可得：PA⊥BC，可得BC⊥平面PAC，即BC⊥AF，由题中的条件可得AF⊥平面PBC，可得AF⊥PB，再结合AE⊥PB，线面垂直的判定定理得到线面垂直进而得到线线垂直．
（2）由题中条件可得：PB=2

2

，PE=BE=

2

．由（1）可得：AF⊥EF，PB⊥EF，进而得到EF=

2

tanθ，AF=

2-2tan2

θ，即可得到S△AEF=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

，再利用二次函数的性质求出面积的最大值．

解答：解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴PA⊥BC，
又AB为斜边，
∴BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又∵AF?平面ACP，
∴BC⊥AF，
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，
又∵AE⊥PB，AE∩AF=A，AE?平面AEF，AF?平面AEF，
∴PB⊥平面AEF，
∴PB⊥EF．（4分）
（2）在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2

2

，
∵PA⊥AB，∴AE=

1

2

PB=

2

，∴PE=BE=

2

．
由（1）可得：AF⊥平面PBC，∴AF⊥EF．
∵∠BPC=θ，PB⊥EF，
∴EF=

2

tanθ，
∴AF=

AE2-EF2

=

( 2 )2-2tan2θ

=

2-2tan2

θ，
∴S△AEF=

1

2

AF•EF=

1

2

•

2

•

1-tan2θ

•

2

tanθ=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

．
∴当tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

时，S_△AEF有最大值为

1

2

，
∴当tanθ=

2

2

时，S_△AEF面积最大，最大值为

1

2

．

点评：本题主要考查空间中线面垂直与线线垂直之间的相互转化，解决此类问题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，本题还考查了三角形的面积公式与二次函数的有关性质等知识点，此题属于中档题，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力．