Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间[1，7]上的最大值比最小值大

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：通过对a＞1与0＜a＜1分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值的差，然后求出a的值．

解答：解：当a＞1时，f（x）=log_a（x+1）在区间[1，7]上单调递增
∴f（x）_max=f（7）=log_a8，f（x）_min（1）=log_a2，
∴log_a8-log_a2=log_a4=

1

2

，
所以a=16．
当0＜a＜1时，f（x）=log_a（x+1）在区间[1，7]上单调递增
∴f（x）_max=f（1）=log_a2，f（x）_min（8）=log_a8
∴log_a2-log_a8=log_a

1

4

=

1

2

，
所以a=

1

16

．
综上得，a=16或

1

16

点评：本题考查对数函数的单调性的应用，对数的基本运算，考查计算能力与分类讨论思想的应用．