题目内容

数列{an}满足：a1=1，
1
a
2
n
+4
=
1
an+1
，记Sn=
n
i=1
a
2
i
，若S2n+1-Sn≤
t
30
对任意的n（n∈N+）恒成立，则正整数t的最小值为
 
．
分析：先求出 数列{an2}的通项公式，令 g（n）=S2n+1-Sn，化简g（n）-g（n+1）的解析式，判断符号，得出g（n）为减数列的结论，从而得到 S2n+1-Sn≤g(1)=
14
45
≤
t
30
，可求正整数t的最小值．
解答：解：∵数列{an}满足：a1=1，
1
a
2
n
+4
=
1
an+1
，∴
1
an+12
-
1 
an2
=4，
∴数列{an2}是以4为公差、以1为首项的等差数列，
易得：
a
2
n
=
1
4n-3
，令 g（n）=S2n+1-Sn，
而g（n）-g（n+1）=
a
2
n+1
-
a
2
2n+2
-
a
2
2n+3
=
1
4n+1
-
1
8n+5
-
1
8n+9
＞0，为减数列，
所以：S2n+1-Sn≤g(1)=
14
45
≤
t
30
，而t为正整数，所以，tmin=10
点评：本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
数列{an}满足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）当a=
1
2
时，证明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．
（2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
（2）设a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
5
3
．
（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．
已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
x
bx+1
（x＞0），数列{an}满足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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