Question

过点M(-2,0)的直线l与椭圆x²+2y²=2交于P₁、P₂两点,线段P₁P₂的中点为P,设直线l的斜率为k(k≠0),OP斜率为k′.

(1)证明k×k′为定值;

(2)求△OMP面积的取值范围.

Answer 1

(1)证明：设P(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),代入椭圆作差得×=-,

即k×k′=-.

(2)解：S_△OMP=|OM|×|y_P|=|y_P|=||,

把y=k(x+2)代入椭圆x²+2y²=2,

消去x得y²-y+2=0,                                                    ①

由根与系数的关系得=,

∴S_△OMP==≤,

等号在2|k|=,即k=±时成立,此时方程①的Δ=0,即直线与椭圆相切,不合题意,

∴△OMP面积的取值范围是(0,).