Question

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边且满足a²+c²=b²+ac．
（1）若c=

2

，b=

3

，求角C；
（2）若

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(-6，-1)，求f（x）=

m

•

n

的值域．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式变形后代入求出cosB的值，再由B为锐角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而求出sinB的值，再由c与b的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出函数f（x）的解析式，并利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinA的二次函数，配方为二次函数的顶点式，根据B的度数，得出A的范围，利用正弦函数的定义域与值域得出sinA的范围，最后利用二次函数的性质即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵a²+c²=b²+ac，即a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
又三角形ABC为锐角三角形，
∴B=

π

3

，即sinB=

3

2

，又a=

2

，b=

3

，
∴由正弦定理得：

2

sinC

=

3

3 2

，即sinC=

2

2

，
∴C=

π

4

；
（2）∵

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(-6，-1)，
∴f（A）=

m

•

n

=-6sinA-cos2A=2sin²A-6sinA-1=2（sinA-

3

2

）²-

11

2

，
又B=

π

3

，三角形ABC为锐角三角形，
∴A∈（

π

6

，

π

2

），sinA∈（

1

2

，1），
则函数的值域为（-5，-

7

2

）．

点评：此题考查正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及二次函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．