题目内容
在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足
a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
，c=2，求
•
的值．
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
| 7 |
| AB |
| AC |
分析：（Ⅰ）利用正弦定理，求出角B的正弦函数值，然后求出角B的大小；
（Ⅱ）利用b=
，c=2，通过余弦定理求出a，求出A，然后求
•
的值．
（Ⅱ）利用b=
| 7 |
| AB |
| AC |
解答：解：（Ⅰ）由
a-2bsinA=0，
根据正弦定理得：
sinA-2sinBsinA=0．…（3分）
因为sinA≠0，所以sinB=
．…（5分）
又B为锐角，则B=
．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=
．
因为b=
，c=2，
根据余弦定理，得 7=a2+4-4acos
，…（8分）
整理，得a2-2a-3=0．由于a＞0，得a=3． …（10分）
于是cosA=
=
=
，…（11分）
所以
•
=|
|•|
|cosA=cbcosA=2×
×
=1． …（14分）
| 3 |
根据正弦定理得：
| 3 |
因为sinA≠0，所以sinB=
| ||
| 2 |
又B为锐角，则B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=
| π |
| 3 |
因为b=
| 7 |
根据余弦定理，得 7=a2+4-4acos
| π |
| 3 |
整理，得a2-2a-3=0．由于a＞0，得a=3． …（10分）
于是cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 7+4-9 | ||
4
|
| ||
| 14 |
所以
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 7 |
| ||
| 14 |
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
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