Question

设直线l：y=3x-2与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且弦AB的中点M在直线x+y=0上，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，设出A、B点及其中点的坐标，与中点坐标公式和直线的斜率计算公式联系，由点差法，可得=3；结合椭圆的离心率的计算方法e==；代入a、b的关系可得答案．
解答：解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有K_AB==3；
设AB的中点为M，其坐标为（m，n），则（x₁+x₂）=2m，（y₁+y₂）=2n；
又由弦AB的中点M在直线x+y=0上，即m+n=0，
A、B两点在椭圆上，
则=1，①
=1，②；
①-②可得，（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-（x₁+x₂）（x₁-x₂）；
化简可得：=3；
则椭圆的离心率为e==；
故选A．
点评：本题考查直线与椭圆的综合运用，注意点差法的运用，即设而不求的方法；一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．