Question

过点P（1，4）作直线L，直线L与x，y的正半轴分别交于A，B两点，O为原点，
①△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L的方程．

Answer 1

分析：方法一：将过点P（1，4）作直线L设为截距式，则

1

a

+

4

b

=1，①△ABO的面积为S=

1

2

ab，②|OA|+|OB|=a+b，分别利用均值定理解决其最值问题，进而求得直线方程；
方法二：将过点P（1，4）作直线L设为点斜式，将A、B坐标用k表示，进而将①△ABO的面积为S，②|OA|+|OB|表示为关于k的函数，分别求最值，进而求直线方程

解答：解：法一：依题意可设直线l的方程为：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0 ）
则A（a，0 ），B（0，b ），直线L过点P（1，4），∴

1

a

+

4

b

=1，
又a＞0，b＞0
∴

1

a

+

4

b

=1≥2

4 ab

=

4

ab

，∴

ab

≥4，ab≥16
①S△ABO=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×ab≥

1

2

×16=8
当且仅当

1

a

=

4

b

=

1

2

，即a=2，b=8时取等号，
∴S的最小值为8
此时直线方程为：

x

2

+

y

8

=1，即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=a+b=（a+b ）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

4ab ab

=9
当且仅当

b

a

=

4a

b

，即b=2a且

1

a

+

4

b

=1，即a=3，b=6时取等号，
∴|OA|+|OB|的值最小为9，此时直线方程为：

x

3

+

y

6

=1即：2x+y-6=0
法二：①依题意可设直线l的方程为：y-4=k （ x-1 ） （ k＜0 ）
令 x=0，则y=4-k，B（ 0，4-k）；令 y=0，则x=-

4

k

+1，A （-

4

k

+1，0）
S=

1

2

（4-k）（ -

4

k

+1）=

1

2

（-

16

k

-k+8 ）≥8，
当且仅当-16/k=-k时，即 k=-4时取等号，S的最小值为8，
此时直线方程为：y-4=-4（ x-1 ），即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=（ -

4

k

+1）+（4-k）=-

4

k

-k+5≥4+5=9，
当且仅当-

4

k

=-k时，即 k=-2时取等号，|OA|+|OB|的值最小，
此时直线方程为：：y-4=-2 （ x-1 ）  即：2x+y-6=0

点评：本题主要考查了直线方程的截距式和点斜式、一般式方程，利用均值定理求函数最值的方法，恰当的选择直线方程的形式是解决问题的关键