Question

已知点M是圆C：上的一点，且轴，为垂足，点满足,记动点的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求面积S的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）设N（x,y）,M（），则由已知得，，，                     2分
代入得，．                                                        4分
所以曲线E的方程为.                                                           5分
(Ⅱ)方法一：
因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，
则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，
由，消去，并整理，得
.                                                          7分
设，，又,
所以，，                                                9分
因为,
所以，即，
所以，即，
因为，所以．　　                                                      12分
又点到直线的距离，
因为，
所以　                                            14分
所以，即的最大值为．                                                   15分
(Ⅱ)方法二：
因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，
则弦不能与垂直，故可设直线的方程为，
由