Question

已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2，问函数f（x）是否还有其它的极值？若有，求出所有极值，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：由题意得：函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2，所以

f/(1)=0 f(1)=2

所以f(x)=

4x

1+x2

，求出函数的导数f/(x)=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，列表观察函数的单调性，判断得到函数f（x）只有一个极小值-2，一个极大值2．

解答：解：因f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，而函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2
所以 

f/(1)=0 f(1)=2

?

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1

，所以 f(x)=

4x

1+x2

此时f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，当x变化时，f（x），f'（x）变化情况如下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减↘	极小值-2	单调递增↗	极大值2	单调递减↘

于是函数f（x）只有一个极小值-2，一个极大值2．

点评：解决此类问题的关键是利用已知的极值求出函数的解析式，再利用导数求出函数的单调区间并且列表找到函数的其他极值，是高考常考的知识点之一．