Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R。
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）当时，求函数f（x）的单调区间与极值。

Answer 1

解：（1）当a=0时，
故f'（1）=3e
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e；
（2）
令f'（x）=0，解得x=-2a或x=a-2
由知，-2a≠a-2
以下分两种情况讨论：
（i）若，则-2a＜a-2，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数，
在（-2a，a-2）内是减函数
函数f（x）在x=-2a处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a，
函数f（x）在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f（a-2）=（4-3a）e^a-2
（ii）若，则-2a>a-2，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）内是增函数，在（a-2，-2a）内是减函数
函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）= （4-3a）e^a-2
函数f（x）在x=-2a处取得极小值f（-2a），且f（-2a）= 3ae^-2a。