Question

10．$\int_0^1{[\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}-x]dx$的值为（　　）

• A． $\frac{π}{2}-1$
• B． 2
• C． $\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 把和的积分写成积分的和，然后利用定积分的几何意义求${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$，进一步求出∫₀¹（-x）dx，作和得答案．

解答 解：$\int_0^1{[\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}-x]dx$=${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$+∫₀¹（-x）dx．
${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$的大小相当于是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的$\frac{1}{4}$，故其值为$\frac{π}{4}$，
∫₀¹（-x）dx=$（-\frac{1}{2}{x}^{2}）{|}_{0}^{1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\int_0^1{[\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}-x]dx$=$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查定积分，考查微积分基本定理的应用，是基础题．