Question

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则区间[1，2011]内所有的企盼数的和为

1. A.
   1001
2. B.
   2030
3. C.
   2026
4. D.
   2048

Answer 1

C
分析：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2）；然后根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2n-2；最后由等比数列前n项和公式解决问题．
解答：a_n=log_n+1（n+2）=，（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k==log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=-2×9=2026，
故选C．
点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．