题目内容
已知f(x)=
(m>0),当x1、x2∈R且x1+x2=1时,总有f(x1)+f(x2)=
.
(1)求m的值;
(2)设数列{an}满足an=f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
),求{an}的通项公式;
(3)对?n∈N*,
<
恒成立,求k的取值范围(其中k>0且k≠1).
1 |
4x+m |
1 |
2 |
(1)求m的值;
(2)设数列{an}满足an=f(
0 |
n |
1 |
n |
2 |
n |
n |
n |
(3)对?n∈N*,
kn |
an |
kn+1 |
an+1 |
分析:(1)依据题意,取x1=x2=
得
=
,由此能求出m的值.
(2)an=f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
),an=f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
),由此能够求出an=
.
(3)由
<
得k>
=
=1+
,由此能够求出实数k的取值范围.
1 |
2 |
1 | ||
|
1 |
4 |
(2)an=f(
0 |
n |
1 |
n |
2 |
n |
n |
n |
n |
n |
n-1 |
n |
n-2 |
n |
0 |
n |
n+1 |
4 |
(3)由
kn |
an |
kn+1 |
an+1 |
an+1 |
an |
n+2 |
n+1 |
1 |
n+1 |
解答:解:(1)依题意,取x1=x2=
,
得f(
)=
,
即
=
,
所以m=2.
当m=2时,?x1、x2∈R,x1+x2=1,
有f(x1)+f(x2)=
+
=…=
=
,
所以m=2.
(2)an=f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
),
an=f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
)
两式相加,并由已知得2an=
,
所以an=
.
(3)由
<
,
得k>
=
=1+
,
?n∈N*,1+
≤1+
=
,
等号当且仅当n=1时成立,
所以k的取值范围是k>
.
1 |
2 |
得f(
1 |
2 |
1 |
4 |
即
1 | ||
|
1 |
4 |
所以m=2.
当m=2时,?x1、x2∈R,x1+x2=1,
有f(x1)+f(x2)=
1 |
4x1+2 |
1 |
4x2+2 |
4+(4x1+4x2) |
4x1+x2+2(4x1+4x2)+4 |
1 |
2 |
所以m=2.
(2)an=f(
0 |
n |
1 |
n |
2 |
n |
n |
n |
an=f(
n |
n |
n-1 |
n |
n-2 |
n |
0 |
n |
两式相加,并由已知得2an=
n+1 |
2 |
所以an=
n+1 |
4 |
(3)由
kn |
an |
kn+1 |
an+1 |
得k>
an+1 |
an |
n+2 |
n+1 |
1 |
n+1 |
?n∈N*,1+
1 |
n+1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
等号当且仅当n=1时成立,
所以k的取值范围是k>
3 |
2 |
点评:本题考查数列与不等式的综合,其中:(1)是恒等、定值问题;(2)是根据(1)用倒序相加求数列通项;(3)是分离变量并求它的取值范围.对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.

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