Question

如图,在直棱柱ABCA₁B₁C₁中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA₁=3,D是BC的中点,点E在棱BB₁上运动.

(1)证明:AD⊥C₁E;
(2)当异面直线AC,C₁E所成的角为60°时,求三棱锥C₁A₁B₁E的体积.

Answer 1

(1)见解析   (2)

(1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC.                                   ①
又在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中,BB₁⊥平面ABC,
而AD?平面ABC,所以AD⊥BB₁.                    ②
由①②,得AD⊥平面BB₁C₁C.
由点E在棱BB₁上运动,得C₁E?平面BB₁C₁C,
所以AD⊥C₁E.
(2)解:因为AC∥A₁C₁,
所以∠A₁C₁E是异面直线AC,C₁E所成的角.
由题意知∠A₁C₁E=60°.
因为∠B₁A₁C₁=∠BAC=90°,
所以A₁C₁⊥A₁B₁.
又AA₁⊥A₁C₁,
从而A₁C₁⊥平面A₁ABB₁.
于是A₁C₁⊥A₁E.
故C₁E==2.
又B₁C₁==2,
所以B₁E==2.
从而=·A₁C₁=××2××=.