Question

（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。[

   （1）求证：AB₁//面BDC₁；

   （2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （3）若在线段AB₁上存在点P，使得CP面BDC₁，试求AA₁的长及点P的位置。

Answer 1

（1）见解析（2）（3）点P位置是在线段AB₁上且

解析:

（1）连接B₁C，交BC₁于点O，

       则O为B₁C的中点，

       D为AC中点，

       ，

       又平面BDC₁，平面BDC₁

              BDC₁    4分

   （2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC??₁，

       面ABC，

       则BC平面AC₁，CC₁AC

       如图建系，则

      

      

设平面C₁DB的法向量为 z

       则

       又平面BDC的法向量为

       二面角C₁—BD—C的余弦值：

          9分

   （3）设，

       则

      

       又面BDC₁，

      

       解得

       所以AA₁=2，点P位置是在线段AB₁上且 14分