Question

已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．

(1)求f(1)、f(－1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)， 　　∴令x＝y＝1时，有f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)． 　　∴f(1)＝0． 　　∴令x＝y＝－1时，有f[(－1)·(－1)]＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)． 　　∴f(－1)＝0． 　　(2)∵f(x)对任意x，y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)， 　　∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)． 　　将f(－1)＝0代入，得f(－x)＝－f(x)， 　　∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．

提示：

(1)利用赋值法，令x＝y＝1得f(1)的值，令x＝y＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(－x)＝－f(x)．