Question

椭圆的左、右焦点分别为F₁(-1，0)，F₂(1,0)，过F₁作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
（Ⅰ）若ΔABF₂为正三角形，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的离心率满足,0为坐标原点，求证为钝角.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．

解析试题分析：（Ⅰ）由椭圆定义易得为边上的中线，在中，可得，即得椭圆的离心率；（Ⅱ）设，，由，，先得，再分两种情况讨论，①是当直线轴垂直时；②是当直线不与轴垂直时，都证明，可得结论．
试题解析：由椭圆的定义知，周长为，
因为为正三角形，所以，，为边上的高线，      2分
，∴椭圆的离心率.       4分

（Ⅱ）设，因为，，所以    6分
①当直线轴垂直时，，，,
=， 因为，所以，为钝角.    8分
②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，代入，
整理得：，
，


      10分
令， 由 ①可知 ，恒为钝角.      12分
考点：1、椭圆的定义及性质；2、直线与椭圆相交的综合应用；3、向量的数量积的坐标运算.