题目内容

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量 $数学公式$ 满足： $数学公式$ ．记y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若对任意 $数学公式$ ，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

解：（Ⅰ）向量 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∵A、B、C是直线l上不同的三点
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴f（x）= $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，∴原不等式为 $\text{[math]}$ ．
得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，①…（4分）
设 $\text{[math]}$ ，
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈ $\text{[math]}$ 上恒成立，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴g（x）与h（x）在 $\text{[math]}$ 上都是增函数，要使不等式①成立，
当且仅当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．…（8分）
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b即为 $\text{[math]}$ ，
变形为 $\text{[math]}$ ．
令φ $\text{[math]}$ ，
∴φ $\text{[math]}$ …（10分）
列表写出x，φ'（x），φ（x）在[0，1]上的变化情况：

x	0	（0， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，1）	1
?φ'（x）		小于0	0	大于0
?φ（x）	ln2	单调递减	取极小值 $\text{[math]}$	单调递增	$\text{[math]}$

…（12分）
显然φ（x）在（0，1]上的极小值也即为它的最小值 $\text{[math]}$ ．
现在比较ln2与 $\text{[math]}$ 的大小；
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使 $\text{[math]}$ ．
即实数b的取值范围为 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（Ⅰ）根据向量 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，结合A、B、C是直线l上不同的三点，即可求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，原不等式为 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，分别求出对应函数的最小值与最大值，即可求得结论；
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b变形为 $\text{[math]}$ ，研究左边对应函数的最值，即可求得实数b的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查向量知识，考查函数的单调性与最值，考查函数与方程思想，属于中档题．